Πέμπτη, 6 Σεπτεμβρίου 2012

Το μοίρασμα του θησαυρού


Μία ομάδα 10 εξερευνητών ανακάλυψε ένα θησαυρό. Ο θησαυρός αποτελούταν από διαμάντια, ρουμπίνια, σμαράγδια, χρυσά νομίσματα, ασημένια νομίσματα και χρυσά βραχιόλια. Αποφάσισαν να μοιρασθούν τα αγαθά μεταξύ τους με δημοκρατικό και δίκαιο τρόπο.
Το πρόβλημα που παρουσιάσθηκε ήταν ότι δεν είχε ο κάθε εξερευνητής την ίδια ιδέα για το ποιο αγαθό είναι πιο πολύτιμο. Για παράδειγμα, ο πρώτος θεωρούσε πως τα διαμάντια είναι τα πιο πολύτιμα ενώ τα ασημένια νομίσματα είναι τα λιγότερο πολύτιμα. Ο δεύτερος πίστευε πως τα πιο πολύτιμα ήταν τα χρυσά βραχιόλια ενώ τα λιγότερο πολύτιμα ήταν τα ρουμπίνια, κ.ο.κ.
Επίσης κάποια πετράδια ήταν λιγότερα από 10, ενώ κάποια νομίσματα περισσότερα από 10, οπότε δεν διαιρούνταν ακριβώς ώστε να πάρει ο κάθε εξερευνητής τον ίδιο αριθμό αντικειμένων από το κάθε είδος.
Αν οι εξερευνητές ήταν μόνο δύο, τότε ίσως να γνωρίζετε έναν τρόπο που μπορεί η μοιρασιά να γίνει με τρόπο ώστε κανείς να μην αισθάνεται αδικημένος: Ο πρώτος χωρίζει τα πολύτιμα αντικείμενα σε δύο μέρη που σύμφωνα με αυτόν έχουν την ίδια αξία και ο δεύτερος επιλέγει να κρατήσει όποιο από τα δύο μέρη θέλει.
Αν όμως οι εξερευνητές είναι τρεις ή περισσότεροι, πρέπει να βρεθεί μία άλλη πιο σύνθετη μέθοδος ώστε στο τέλος της μοιρασιάς να μην υπάρχει κανένας που να αισθάνεται αδικημένος.
Είναι γνωστές δύο τέτοιες διαδικασίες μοιράσματος. Μπορείτε να ανακαλύψετε μία;

Παρακάτω παρουσιάζονται οι δύο γνωστοί τρόποι μοιράσματος:

1ος τρόπος
Ο πρώτος εξερευνητής (ας τον ονομάσουμε Α) ξεχωρίζει το μερίδιό του, το οποίο πιστεύει ότι αποτελεί το 1/10 της αξίας του θησαυρού. Αν όλοι οι υπόλοιποι συμφωνήσουν ότι δεν πήρε παραπάνω από το 1/10, τότε ο Α παίρνει το μερίδιο που επέλεξε και αποχωρεί από τη μοιρασιά.
Αν κάποιοι εξερευνητές πιστεύουν πως το μερίδιο που διάλεξε ο Α είναι μεγαλύτερο από το 1/10 της συνολικής αξίας του θησαυρού, τότε το μερίδιο πηγαίνει στον πρώτο κατά σειρά των διαφωνούντων (ας τον ονομάσουμε Β), με την προϋπόθεση να επιστρέψει ο Β στο σωρό την πλεονάζουσα κατά τη γνώμη του αξία, ώστε αυτό που θα απομείνει για τον ίδιο να αντιστοιχεί πράγματι στο 1/10 της συνολικής αξίας.
Στη συνέχεια ζητείται πάλι από τους εξερευνητές να εκφράσουν τις τυχόν αντιρρήσεις τους για το μερίδιο που επέλεξε ο Β. Φυσικά ο Α δεν θα έχει αντίρρηση γιατί το μερίδιο του Β είναι μικρότερο από αυτό που επέλεξε ο ίδιος αρχικά για τον εαυτό του. Ο Β δεν θα έχει αντίρρηση γιατί το μερίδιό του το επέλεξε ο ίδιος.
Αν δεν υπάρξει καμία διαφωνία, τότε ο Β παίρνει το μερίδιο που επέλεξε και αποχωρεί από τη μοιρασιά. Αν κάποιος εξερευνητής (έστω ο Γ) εκφράσει εκ νέου τη διαφωνία του, τότε πηγαίνει σε αυτόν το μερίδιο του Β με την οδηγία να το μειώσει ακόμα περισσότερο κατά την κρίση του. Τώρα οι Α, Β και Γ δεν θα έχουν αντίρρηση για το νέο μερίδιο και γενικά μετά από κάθε διαφωνία θα μειώνονται συνεχώς οι εξερευνητές που εκφράζουν την αντίρρησή τους, μέχρι να συμφωνήσουν όλοι στο ποιο μερίδιο αποτελεί το πολύ το 1/10 της αξίας του θησαυρού.
Όταν δεν θα υπάρχει πια καμία διαφωνία για το πρώτο μερίδιο και ο εκάστοτε εξερευνητής πάρει αυτό που επέλεξε, το πρόβλημα ανάγεται στο μοίρασμα του υπόλοιπου θησαυρού σε 9 εξερευνητές, από τους οποίους ο πρώτος θα επιλέξει αυτό που θεωρεί πως είναι το 1/9 της αξίας του θησαυρού και η διαδικασία επαναλαμβάνεται από την αρχή.

2ος τρόπος
Δύο από τους εξερευνητές μοιράζονται μεταξύ τους το θησαυρό. Αυτό επιτυγχάνεται με τη μέθοδο που αναφέρθηκε στην αρχή, δηλαδή ο ένας μοιράζει το θησαυρό σε δύο ίσα κατά τη γνώμη του μέρη και ο άλλος επιλέγει όποιο θέλει. Στο σημείο αυτό έχουμε δύο εξερευνητές που ο καθένας έχει στην κατοχή του θεωρητικά το 1/2 του θησαυρού.
Στη συνέχεια ο καθένας από τους δύο μοιράζει το δικό του μερίδιο σε τρία ίσα κατά τη γνώμη του μέρη και ένας τρίτος εξερευνητής επιλέγει για τον εαυτό του το ένα από τα τρία μερίδια του πρώτου και το ένα από τα τρία μερίδια του δεύτερου. Στο σημείο αυτό έχουμε τρεις εξερευνητές που ο καθένας έχει στην κατοχή του θεωρητικά το 1/3 του θησαυρού.
Στη συνέχεια ο καθένας από τους τρεις μοιράζει το δικό του μερίδιο σε τέσσερα ίσα κατά τη γνώμη του μέρη και ένας τέταρτος εξερευνητής επιλέγει για τον εαυτό του το ένα από τα τέσσερα μερίδια του πρώτου, το ένα από τα τέσσερα μερίδια του δεύτερου και το ένα από τα τέσσερα μερίδια του τρίτου. Στο σημείο αυτό έχουμε τέσσερις εξερευνητές που ο καθένας έχει στην κατοχή του θεωρητικά το 1/4 του θησαυρού.
Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να επιλέξει και ο δέκατος εξερευνητής ένα από τα δέκα μέρη από καθέναν εκ των υπολοίπων εννέα εξερευνητών και να έχουν τελικά όλοι στην κατοχή τους θεωρητικά το 1/10 του θησαυρού.

Ποιον από τους δύο τρόπους θεωρείτε πιο δίκαιο;

Παρασκευή, 10 Σεπτεμβρίου 2010

Το Παράδοξο του Bertrand

Φτιάχνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο μέσα σε έναν κύκλο. Στη συνέχεια φέρνουμε μια τυχαία χορδή αυτού του κύκλου. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η χορδή αυτή να έχει μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του τριγώνου.
Το πρόβλημα πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Joseph Bertrand σε μια εργασία του το 1888. Εκεί έδωσε τρεις διαφορετικές μεθόδους για τη δημιουργία της τυχαίας χορδής και βρήκε τρία διαφορετικά αποτελέσματα για τη ζητούμενη πιθανότητα!

Ακολουθούν αυτές οι τρεις μέθοδοι:

Μέθοδος 1 – Τα τυχαία άκρα

Μέθοδος 1 - Οι κόκκινες χορδές
είναι μεγαλύτερες της πλευράς
και οι μπλε χορδές μικρότερες.
Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου και περιστρέψτε το τρίγωνο ώστε η μία κορυφή του να ταυτιστεί με το σημείο αυτό. Επιλέξτε ένα δεύτερο τυχαίο σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Ενώστε αυτά τα δύο σημεία μεταξύ τους και θα έχετε μια τυχαία χορδή του κύκλου.
Αν το δεύτερο σημείο της χορδής βρίσκεται πάνω στο τόξο ανάμεσα στις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου, τότε η χορδή που φέρατε είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου. Αν όχι, τότε είναι μικρότερη από την πλευρά του τριγώνου. Παρατηρείστε ότι οι τρεις κορυφές του τριγώνου χωρίζουν την περιφέρεια του κύκλου σε τρία ίσα τόξα. Άρα η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/3.

Μέθοδος 2 – Το τυχαίο σημείο ακτίνας

Μέθοδος 2 - Οι κόκκινες χορδές
είναι μεγαλύτερες της πλευράς
και οι μπλε χορδές μικρότερες.
Φέρτε μία ακτίνα του κύκλου και περιστρέψτε το τρίγωνο ώστε η ακτίνα να είναι κάθετη σε μία από τις πλευρές του. Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο πάνω στην ακτίνα και φέρτε τη χορδή του κύκλου που περνάει από το σημείο αυτό και είναι κάθετη στην ακτίνα.
Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν βρίσκεται πλησιέστερα στο κέντρο του κύκλου απ’ ότι η πλευρά. Παρατηρείστε ότι η πλευρά του τριγώνου τέμνει την ακτίνα του κύκλου ακριβώς στη μέση της. Άρα το τυχαίο σημείο που επιλέξατε πάνω στην ακτίνα είναι το ίδιο πιθανό να βρίσκεται προς το κέντρο του κύκλου ή προς την περιφέρειά του και συνεπώς η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/2.

Μέθοδος 3 – Το τυχαίο μέσο σημείο

Μέθοδος 3 - Οι κόκκινες χορδές
είναι μεγαλύτερες της πλευράς
και οι μπλε χορδές μικρότερες.
Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο οπουδήποτε στο εσωτερικό του κύκλου. Φέρτε τη χορδή του κύκλου που έχει το σημείο αυτό σαν μέσο της (μόνο μία τέτοια χορδή είναι δυνατόν να ορισθεί, εκτός και αν το σημείο ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου). Φέρτε έναν κύκλο που έχει το ίδιο κέντρο με τον αρχικό και τη μισή του ακτίνα.
Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν το τυχαίο σημείο που επιλέξατε βρίσκεται εντός του μικρότερου κύκλου. Το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του μεγαλύτερου και συνεπώς η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/4.

Τι ακριβώς συμβαίνει εδώ; Δεν θα έπρεπε η πιθανότητα να είναι η ίδια ανεξάρτητα από τον τρόπο επιλογής της τυχαίας χορδής;
Η απάντηση είναι όχι. Η πιθανότητα εξαρτάται από το τι εννοούμε όταν λέμε "τυχαία χορδή". Και οι τρεις παραπάνω τρόποι επιλογής της θεωρούνται αποδεκτοί και εφόσον στις προϋποθέσεις του προβλήματος δεν καθορίζεται με ποιο τρόπο θα γίνει η επιλογή, δεν υπάρχει προφανής λόγος να προτιμηθεί η μία μέθοδος έναντι μιας άλλης.

Αν θέλετε να αναπαραστήσετε τις τρεις διαφορετικές μεθόδους με φυσικό τρόπο, μπορείτε να εκτελέσετε τα ακόλουθα πειράματα:
Για τη Μέθοδο 1, τοποθετείτε μια σβούρα με βέλος στο κέντρο του κύκλου και τη γυρνάτε δύο φορές. Σημειώνετε τα σημεία που δείχνει το βέλος πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, τα ενώνετε μεταξύ τους και έχετε τη χορδή.
Για τη Μέθοδο 2, πετάτε περιστρεφόμενα καλαμάκια από μεγάλη απόσταση πάνω σε έναν κύκλο μικρότερης διαμέτρου. Όσα από αυτά τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία αποτελούν τυχαίες χορδές του.
Για τη Μέθοδο 3, καλύψτε με μελάσα μία έκταση γύρω και μέσα σε έναν κύκλο και σημειώστε το πρώτο σημείο που θα προσγειωθεί μια μύγα. Αυτό είναι το μέσον της χορδής.

Ας μελετήσουμε τώρα την κατανομή των χορδών που δημιουργεί η κάθε μέθοδος.

Στις πρώτες τρεις εικόνες φαίνεται το πώς κατανέμεται το μέσο σημείο των χορδών μετά από πολλές επαναλήψεις της διαδικασίας επιλογής με τις τρεις μεθόδους. Παρατηρούμε πως μόνο με τη Μέθοδο 3 τα μέσα σημεία είναι ομογενώς κατανεμημένα πάνω στην επιφάνεια του κύκλου. Με τη Μέθοδο 1 και 2 υπάρχει υψηλότερη συγκέντρωση σημείων κοντά στο κέντρο του κύκλου, ενώ η Μέθοδος 1 παρουσιάζει και υψηλή συγκέντρωση στην περιφέρεια του κύκλου.



Στις επόμενες τρεις εικόνες φαίνεται η κατανομή των χορδών μετά από πολλές επαναλήψεις της διαδικασίας επιλογής με τις τρεις μεθόδους. Παρατηρούμε πως μόνο με τη Μέθοδο 2 οι χορδές παρουσιάζονται ομοιογενώς κατανεμημένες. Στη Μέθοδο 3 φαίνεται μια αισθητή έλλειψη χορδών να τέμνουν την περιοχή γύρω από το κέντρο του κύκλου, ενώ στη Μέθοδο 1 παρατηρούμε υψηλότερη συγκέντρωση χορδών κοντά στην περιφέρεια του κύκλου απ’ ότι στο μέσον του.
Αν λοιπόν όταν ζητάμε επιλογή τυχαίων χορδών έχουμε στο μυαλό μας μια ομοιογενή κατανομή τους πάνω στον κύκλο, τότε θα θεωρήσουμε κατάλληλη τη Μέθοδο 2 και το αποτέλεσμα για τη ζητούμενη πιθανότητα θα είναι το 1/2.

Ο Edwin Jaynes, σε μια εργασία του το 1973, έγραψε πως η κατανομή των χορδών πάνω στον κύκλο θα πρέπει να μένει η ίδια, ανεξάρτητα από την περιστροφή, το μέγεθος ή τη θέση του κύκλου.
Ως προς την περιστροφή και οι τρεις μέθοδοι είναι συνεπείς μιας και ο κύκλος έχει περιστροφική συμμετρία. Όμως, η κατανομή που προκύπτει από τη Μέθοδο 1 εξαρτάται από το μέγεθος του κύκλου: οι χορδές που κατασκευάστηκαν με αυτή τη μέθοδο πάνω σε έναν δεδομένο κύκλο δεν είναι με τον ίδιο τρόπο κατανεμημένες και σε έναν μικρότερο κύκλο. Επίσης, η κατανομή που προκύπτει από τη Μέθοδο 3 εξαρτάται από τη θέση του κύκλου: οι χορδές που κατασκευάστηκαν με αυτή τη μέθοδο πάνω σε έναν δεδομένο κύκλο είναι κατανεμημένες διαφορετικά σε έναν κύκλο ελαφρά μετατοπισμένο σε σχέση με τον πρώτο. Μόνο η Μέθοδος 2 δίνει κατανομές ομοιογενείς ως προς την περιστροφή, το μέγεθος και τη θέση.
Όλα αυτά ο Jaynes τα παρουσίασε με μαθηματικούς υπολογισμούς. Παρ’ όλα αυτά γράφει πως «ενώ θα ήταν υπερβολικό να πούμε πως η Μέθοδος 2 είναι πιο “σωστή” από τις υπόλοιπες, είναι σίγουρα πιο χρήσιμη στην πράξη».

Πηγές:   http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)
                    http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf

Τρίτη, 7 Σεπτεμβρίου 2010

Χάος και Fractals


Θα μελετήσουμε μια απλή συνάρτηση, από την οποία όμως θα προκύψουν εκπληκτικά αποτελέσματα. Είναι η λεγόμενη Λογιστική Συνάρτηση:
xn+1 = r xn (1 – xn)
Η συνάρτηση αυτή είναι μη γραμμική γιατί μετά τον πολλαπλασιασμό ο παράγοντας xn εμφανίζεται στη δεύτερη δύναμη και λέγεται αναδρομική γιατί η κάθε νέα τιμή της (xn+1) εξαρτάται από την προηγούμενη (xn). Μια τέτοια αναδρομική συνάρτηση έχει το ίδιο πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών. Η γραφική της παράσταση δηλαδή, με σταθερό το r, γίνεται πάνω σε κάποιον άξονα x. 

Η λογιστική συνάρτηση έχει πολλές εφαρμογές στις επιστήμες. Π.χ. αποτελεί ένα μοντέλο της εξέλιξης ενός πληθυσμού στο χρόνο. Το x είναι το ποσοστό που καταλαμβάνει αυτός ο πληθυσμός μέσα στο χώρο που έχει στη διάθεσή του για να πολλαπλασιαστεί. Η τιμή του x πρέπει να είναι μεταξύ 0 και 1. Τιμή 0 σημαίνει πως ο πληθυσμός εξαφανίστηκε και τιμή 1 σημαίνει πως κατέλαβε όλον τον διαθέσιμο χώρο. Το r είναι ένας θετικός αριθμός που αντιπροσωπεύει τον συνδυασμένο ρυθμό αναπαραγωγής και λιμοκτονίας.

Μπορείτε να εισάγετε αυτή τη συνάρτηση στο Excel για να παρακολουθήσετε καλύτερα τα εξωτικά αποτελέσματα που θα ακολουθήσουν. Σας προτείνω έναν απλό τρόπο εισαγωγής της:
-         Γράψτε στο κελί Α1 του Excel μια τιμή για το r, π.χ. την τιμή 1.
-         Γράψτε στο κελί Β1 της διπλανής στήλης, την αρχική τιμή του x. Η τιμή αυτή πρέπει πάντα να είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του 1, αλλά έχει μικρή σημασία ποια ακριβώς θα είναι, γιατί το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι το ίδιο. Π.χ. βάλτε στο κελί Β1 την τιμή 0,5.
-         Εισάγετε στο κελί Β2 από κάτω, το εξής:
      =A$1*B1*(1-B1)
Αυτός ο τύπος εισάγει στο Excel την υπό εξέταση συνάρτηση.
-         Αντιγράψτε το κελί Β2 καμιά εκατοσταριά φορές προς τα κάτω, δηλαδή στα κελιά Β3, Β4, κλπ. Αυτές είναι όλες οι επόμενες τιμές του x.
-         Στην παρακάτω ανάλυση, μπορείτε απλά να αλλάζετε την τιμή του r στο κελί Α1 και να βλέπετε το αποτέλεσμα που έχει αυτή η αλλαγή στην εξέλιξη των τιμών του x.

Συμπεριφορά της συνάρτησης ανάλογα με την τιμή του r
  • Για τιμές του r μεταξύ του 0 και του 1, το x θα καταλήξει στην τιμή 0 ανεξάρτητα από την αρχική του τιμή, δηλαδή ο πληθυσμός θα πεθάνει.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 1 και του 2, το x θα σταθεροποιηθεί στην τιμή (r–1)/r, ανεξάρτητα από την αρχική του τιμή.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 2 και του 3, το x θα σταθεροποιηθεί πάλι στην τιμή (r–1)/r, αλλά θα κυμανθεί πρώτα για λίγο γύρω από αυτήν.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 3 και του 3,45 (ακριβέστερα του 1+√6), το x θα καταλήξει να εναλλάσσεται μεταξύ δύο τιμών, σχεδόν για οποιαδήποτε αρχική τιμή του. Το ποιες θα είναι αυτές οι δύο τιμές εξαρτάται από την τιμή του r.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 3,45 και του 3,54 περίπου, το x θα καταλήξει να εναλλάσσεται μεταξύ τεσσάρων τιμών.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 3,54 και του 3,57 περίπου, το x θα καταλήξει να εναλλάσσεται μεταξύ 8, 16, 32, κλπ. τιμών. Το διάστημα τιμών του r που διαρκεί η εναλλαγή μεταξύ ενός δεδομένου αριθμού τιμών του x, μειώνεται πολύ γρήγορα. Ο λόγος μεταξύ δύο τέτοιων διαδοχικών διαστημάτων τείνει στη σταθερά του Feigenbaum *.
  • Για τιμές του r μεγαλύτερες του 3,57 εμφανίζεται το Χάος! Δεν μπορούμε πλέον να βρούμε εναλλαγές μεταξύ ενός πεπερασμένου αριθμού τιμών. Οι τιμές του x ανεβοκατεβαίνουν χωρίς κανένα καθορισμένο πρότυπο και εξαρτώνται σε δραματικό βαθμό από την αρχική τιμή του x, ένα χαρακτηριστικό που είναι σήμα κατατεθέν του Χάους.
  • Παρόλο που για r > 3,57 οι τιμές του x είναι κατά κανόνα χαοτικές, υπάρχουν κάποια απομονωμένα διαστήματα τιμών r, τα οποία δεν εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά και ονομάζονται νήσοι σταθερότητας. Για παράδειγμα ξεκινώντας από την τιμή r = 3.83 (ακριβέστερα 1+√8), υπάρχει ένα διάστημα τιμών του r που το x εναλλάσσεται μεταξύ 3 τιμών και για λίγο μεγαλύτερες τιμές του r, το x εναλλάσσεται μεταξύ 6, 12, κλπ. τιμών.
  • Για τιμές του r μεγαλύτερες του 4, το x βγαίνει έξω απ’ το διάστημα [0,1] για σχεδόν όλες τις αρχικές τιμές του.

Στο παρακάτω διάγραμμα συνοψίζεται η συμπεριφορά της λογιστικής συνάρτησης ανάλογα με τις τιμές του r. Στον οριζόντιο άξονα βρίσκονται οι τιμές του r για τις οποίες η συνάρτηση παρουσιάζει ενδιαφέρον και στον κάθετο άξονα βρίσκονται οι τιμές του x οι οποίες σταθεροποιούνται μετά από αρκετές επαναλήψεις.


Το διάγραμμα είναι ένα fractal: Αν το εξετάσουμε για τις τιμές του r μεταξύ του 3,4 και 3,6 και για τον έναν μόνο από τους δύο κλάδους του εμφανιζόμενου δέντρου, θα δούμε μέσα του μια ελαφρά διαστρεβλωμένη μικρογραφία όλου του αρχικού διαγράμματος. Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο μη χαοτικό εύρος τιμών του r. Αυτό είναι ένα δείγμα της βαθιάς και πανταχού παρούσας σύνδεσης μεταξύ Χάους και Fractals.

* Ο φυσικός Mitchell Feigenbaum που μελέτησε αυτή τη συνάρτηση το 1976 ανακάλυψε πως ο λόγος τιμών του r μεταξύ δύο διαδοχικών διαστημάτων όπου η τιμή του x εναλλάσσεται μεταξύ διπλάσιου αριθμού τιμών σε σχέση με το προηγούμενο διάστημα, τείνει στην τιμή δ = 4,669… Ο Feigenbaum όμως προχώρησε ακόμα περισσότερο στην ανάλυσή του και βρήκε πως υπάρχουν και άλλες οικογένειες συναρτήσεων, όπως η     xn+1 = r sinx    και η    xn+1 = x2 – r,    όπου παρουσιάζουν πολλά κοινά στοιχεία με τη Λογιστική Συνάρτηση. Ειδικά για την τελευταία, ισχύει πως η γραφική της παράσταση είναι όμοια αλλά αντεστραμμένη σε σχέση με αυτή της Λογιστικής Συνάρτησης. Το πιο εκπληκτικό του συμπέρασμα όμως, ήταν πως οι λόγοι τιμών του r μεταξύ δύο διαδοχικών διαστημάτων όλων αυτών των οικογενειών συναρτήσεων έτειναν επίσης στη σταθερά δ. Φαίνεται λοιπόν πως αυτός ο αριθμός αποτελεί μια σπουδαία καθολική σταθερά. Μεγάλο μέρος της σύγχρονης έρευνας προσανατολίζεται στην απόκτηση περισσότερων γνώσεων γι αυτήν. Σήμερα είναι γνωστά τα πρώτα 20 τουλάχιστον ψηφία της. 

Πηγές: http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
                 Donald M. Davis - Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών - Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Παρασκευή, 2 Ιουλίου 2010

Τρίγωνο Sierpinski

  1. Παίρνουμε ένα φύλλο χαρτί και σημειώνουμε πάνω του τρεις τελείες. Αυτές σχηματίζουν ένα νοητό τρίγωνο.
  2. Σημειώνουμε μια τελεία σε οποιοδήποτε σημείο εντός του νοητού τριγώνου. Αυτή η τελεία είναι η τρέχουσα θέση μας.
  3. Διαλέγουμε στην τύχη μία από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.
  4. Σημειώνουμε μια νέα τελεία στο μέσο της απόστασης μεταξύ της τρέχουσας θέσης μας και της κορυφής του τριγώνου που επιλέξαμε. Αυτή είναι η νέα τρέχουσα θέση μας.
  5. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία από το βήμα 3.
Μετά από καμιά εκατοσταριά επαναλήψεις της διαδιακασίας και αντίστοιχες τελείες αρχίζει να διαφαίνεται ένα μόρφωμα πάνω στο χαρτί. Αν βαριέστε να ανακαλύψετε στην πράξη πιο είναι αυτό, δείτε μια αναπαράσταση της διαδικασίας στην παρακάτω κινούμενη εικόνα:


Αν συνεχίσουμε τη διαδικασία για πάντα, θα δημιουργηθεί ένα μόρφωμα που λέγεται Τρίγωνο Sierpinski και είναι ένα από τα απλούστερα fractals, μορφώματα δηλαδή που όσο βαθειά και να κοιτάξει κανείς στο εσωτερικό τους θα βλέπει πάντα το ίδιο μοτίβο.

Απλούστερα σχηματίζεται αν από ένα τρίγωνο αφαιρέσουμε το κεντρικό του κομμάτι που αντιστοιχεί στο 1/4 του τριγώνου. Θα μείνουν τότε τρία μικρότερα όμοια τρίγωνα, στο κάθε ένα από τα οποία αφαιρούμε το κεντρικό του κομμάτι, κ.ο.κ. επ' άπειρον.


Αφού το συνολικό εμβαδόν των τριγώνων που προκύπτουν μετά από κάθε αφαίρεση είναι τα 3/4 του αμέσως προηγούμενου εμβαδού, προκύπτει πως το τελικό εμβαδό του τριγώνου Sierpinski  μετά από άπειρες επαναλύψεις της διαδικασίας θα είναι μηδέν.
Το τρίγωνο Sierpinski (όπως και όλα τα γνήσια fractals) έχει επίσης την ενδιαφέρουσα ιδιότητα πως παρόλο που ο χώρος που καταλαμβάνει είναι περιορισμένος, το συνολικό μήκος των πλευρών των τριγώνων του είναι άπειρο.

Πηγές: http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle 
                 Donald M. Davis - Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών - Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης