Παρασκευή, 2 Ιουλίου 2010

Τρίγωνο Sierpinski

  1. Παίρνουμε ένα φύλλο χαρτί και σημειώνουμε πάνω του τρεις τελείες. Αυτές σχηματίζουν ένα νοητό τρίγωνο.
  2. Σημειώνουμε μια τελεία σε οποιοδήποτε σημείο εντός του νοητού τριγώνου. Αυτή η τελεία είναι η τρέχουσα θέση μας.
  3. Διαλέγουμε στην τύχη μία από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.
  4. Σημειώνουμε μια νέα τελεία στο μέσο της απόστασης μεταξύ της τρέχουσας θέσης μας και της κορυφής του τριγώνου που επιλέξαμε. Αυτή είναι η νέα τρέχουσα θέση μας.
  5. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία από το βήμα 3.
Μετά από καμιά εκατοσταριά επαναλήψεις της διαδιακασίας και αντίστοιχες τελείες αρχίζει να διαφαίνεται ένα μόρφωμα πάνω στο χαρτί. Αν βαριέστε να ανακαλύψετε στην πράξη πιο είναι αυτό, δείτε μια αναπαράσταση της διαδικασίας στην παρακάτω κινούμενη εικόνα:


Αν συνεχίσουμε τη διαδικασία για πάντα, θα δημιουργηθεί ένα μόρφωμα που λέγεται Τρίγωνο Sierpinski και είναι ένα από τα απλούστερα fractals, μορφώματα δηλαδή που όσο βαθειά και να κοιτάξει κανείς στο εσωτερικό τους θα βλέπει πάντα το ίδιο μοτίβο.

Απλούστερα σχηματίζεται αν από ένα τρίγωνο αφαιρέσουμε το κεντρικό του κομμάτι που αντιστοιχεί στο 1/4 του τριγώνου. Θα μείνουν τότε τρία μικρότερα όμοια τρίγωνα, στο κάθε ένα από τα οποία αφαιρούμε το κεντρικό του κομμάτι, κ.ο.κ. επ' άπειρον.


Αφού το συνολικό εμβαδόν των τριγώνων που προκύπτουν μετά από κάθε αφαίρεση είναι τα 3/4 του αμέσως προηγούμενου εμβαδού, προκύπτει πως το τελικό εμβαδό του τριγώνου Sierpinski  μετά από άπειρες επαναλύψεις της διαδικασίας θα είναι μηδέν.
Το τρίγωνο Sierpinski (όπως και όλα τα γνήσια fractals) έχει επίσης την ενδιαφέρουσα ιδιότητα πως παρόλο που ο χώρος που καταλαμβάνει είναι περιορισμένος, το συνολικό μήκος των πλευρών των τριγώνων του είναι άπειρο.

Πηγές: http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle 
                 Donald M. Davis - Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών - Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

2 σχόλια:

  1. Νομίζω πως στο βήμα 5. υπάρχει ένα εκ παραδρομής λάθος Η διαδικασία θα πρέπει να επαναληφθεί από το βήμα 2.
    Η τελευταία παράγραφος δίνει την δυνατότητα και σε φιλοσοφικές αναγωγές.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. @Martina: Όχι, αν επαναλάβουμε από το Βήμα 2 θα γεμίσει το τρίγωνο με τελείες τυχαία τοποθετημένες. Οι τελείες που σημειώνουμε θα πρέπει όλες (εκτός από την πρώτη) να βρίσκονται στο μέσον της απόστασης μεταξύ της προηγούμενης τελείας και μιας κορυφής του τριγώνου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή