Παρασκευή, 10 Σεπτεμβρίου 2010

Το Παράδοξο του Bertrand

Φτιάχνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο μέσα σε έναν κύκλο. Στη συνέχεια φέρνουμε μια τυχαία χορδή αυτού του κύκλου. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η χορδή αυτή να έχει μήκος μεγαλύτερο από την πλευρά του τριγώνου.
Το πρόβλημα πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Joseph Bertrand σε μια εργασία του το 1888. Εκεί έδωσε τρεις διαφορετικές μεθόδους για τη δημιουργία της τυχαίας χορδής και βρήκε τρία διαφορετικά αποτελέσματα για τη ζητούμενη πιθανότητα!

Ακολουθούν αυτές οι τρεις μέθοδοι:

Μέθοδος 1 – Τα τυχαία άκρα

Μέθοδος 1 - Οι κόκκινες χορδές
είναι μεγαλύτερες της πλευράς
και οι μπλε χορδές μικρότερες.
Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου και περιστρέψτε το τρίγωνο ώστε η μία κορυφή του να ταυτιστεί με το σημείο αυτό. Επιλέξτε ένα δεύτερο τυχαίο σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Ενώστε αυτά τα δύο σημεία μεταξύ τους και θα έχετε μια τυχαία χορδή του κύκλου.
Αν το δεύτερο σημείο της χορδής βρίσκεται πάνω στο τόξο ανάμεσα στις άλλες δύο κορυφές του τριγώνου, τότε η χορδή που φέρατε είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου. Αν όχι, τότε είναι μικρότερη από την πλευρά του τριγώνου. Παρατηρείστε ότι οι τρεις κορυφές του τριγώνου χωρίζουν την περιφέρεια του κύκλου σε τρία ίσα τόξα. Άρα η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/3.

Μέθοδος 2 – Το τυχαίο σημείο ακτίνας

Μέθοδος 2 - Οι κόκκινες χορδές
είναι μεγαλύτερες της πλευράς
και οι μπλε χορδές μικρότερες.
Φέρτε μία ακτίνα του κύκλου και περιστρέψτε το τρίγωνο ώστε η ακτίνα να είναι κάθετη σε μία από τις πλευρές του. Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο πάνω στην ακτίνα και φέρτε τη χορδή του κύκλου που περνάει από το σημείο αυτό και είναι κάθετη στην ακτίνα.
Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν βρίσκεται πλησιέστερα στο κέντρο του κύκλου απ’ ότι η πλευρά. Παρατηρείστε ότι η πλευρά του τριγώνου τέμνει την ακτίνα του κύκλου ακριβώς στη μέση της. Άρα το τυχαίο σημείο που επιλέξατε πάνω στην ακτίνα είναι το ίδιο πιθανό να βρίσκεται προς το κέντρο του κύκλου ή προς την περιφέρειά του και συνεπώς η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/2.

Μέθοδος 3 – Το τυχαίο μέσο σημείο

Μέθοδος 3 - Οι κόκκινες χορδές
είναι μεγαλύτερες της πλευράς
και οι μπλε χορδές μικρότερες.
Επιλέξτε ένα τυχαίο σημείο οπουδήποτε στο εσωτερικό του κύκλου. Φέρτε τη χορδή του κύκλου που έχει το σημείο αυτό σαν μέσο της (μόνο μία τέτοια χορδή είναι δυνατόν να ορισθεί, εκτός και αν το σημείο ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου). Φέρτε έναν κύκλο που έχει το ίδιο κέντρο με τον αρχικό και τη μισή του ακτίνα.
Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν το τυχαίο σημείο που επιλέξατε βρίσκεται εντός του μικρότερου κύκλου. Το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του μεγαλύτερου και συνεπώς η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/4.

Τι ακριβώς συμβαίνει εδώ; Δεν θα έπρεπε η πιθανότητα να είναι η ίδια ανεξάρτητα από τον τρόπο επιλογής της τυχαίας χορδής;
Η απάντηση είναι όχι. Η πιθανότητα εξαρτάται από το τι εννοούμε όταν λέμε "τυχαία χορδή". Και οι τρεις παραπάνω τρόποι επιλογής της θεωρούνται αποδεκτοί και εφόσον στις προϋποθέσεις του προβλήματος δεν καθορίζεται με ποιο τρόπο θα γίνει η επιλογή, δεν υπάρχει προφανής λόγος να προτιμηθεί η μία μέθοδος έναντι μιας άλλης.

Αν θέλετε να αναπαραστήσετε τις τρεις διαφορετικές μεθόδους με φυσικό τρόπο, μπορείτε να εκτελέσετε τα ακόλουθα πειράματα:
Για τη Μέθοδο 1, τοποθετείτε μια σβούρα με βέλος στο κέντρο του κύκλου και τη γυρνάτε δύο φορές. Σημειώνετε τα σημεία που δείχνει το βέλος πάνω στην περιφέρεια του κύκλου, τα ενώνετε μεταξύ τους και έχετε τη χορδή.
Για τη Μέθοδο 2, πετάτε περιστρεφόμενα καλαμάκια από μεγάλη απόσταση πάνω σε έναν κύκλο μικρότερης διαμέτρου. Όσα από αυτά τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία αποτελούν τυχαίες χορδές του.
Για τη Μέθοδο 3, καλύψτε με μελάσα μία έκταση γύρω και μέσα σε έναν κύκλο και σημειώστε το πρώτο σημείο που θα προσγειωθεί μια μύγα. Αυτό είναι το μέσον της χορδής.

Ας μελετήσουμε τώρα την κατανομή των χορδών που δημιουργεί η κάθε μέθοδος.

Στις πρώτες τρεις εικόνες φαίνεται το πώς κατανέμεται το μέσο σημείο των χορδών μετά από πολλές επαναλήψεις της διαδικασίας επιλογής με τις τρεις μεθόδους. Παρατηρούμε πως μόνο με τη Μέθοδο 3 τα μέσα σημεία είναι ομογενώς κατανεμημένα πάνω στην επιφάνεια του κύκλου. Με τη Μέθοδο 1 και 2 υπάρχει υψηλότερη συγκέντρωση σημείων κοντά στο κέντρο του κύκλου, ενώ η Μέθοδος 1 παρουσιάζει και υψηλή συγκέντρωση στην περιφέρεια του κύκλου.



Στις επόμενες τρεις εικόνες φαίνεται η κατανομή των χορδών μετά από πολλές επαναλήψεις της διαδικασίας επιλογής με τις τρεις μεθόδους. Παρατηρούμε πως μόνο με τη Μέθοδο 2 οι χορδές παρουσιάζονται ομοιογενώς κατανεμημένες. Στη Μέθοδο 3 φαίνεται μια αισθητή έλλειψη χορδών να τέμνουν την περιοχή γύρω από το κέντρο του κύκλου, ενώ στη Μέθοδο 1 παρατηρούμε υψηλότερη συγκέντρωση χορδών κοντά στην περιφέρεια του κύκλου απ’ ότι στο μέσον του.
Αν λοιπόν όταν ζητάμε επιλογή τυχαίων χορδών έχουμε στο μυαλό μας μια ομοιογενή κατανομή τους πάνω στον κύκλο, τότε θα θεωρήσουμε κατάλληλη τη Μέθοδο 2 και το αποτέλεσμα για τη ζητούμενη πιθανότητα θα είναι το 1/2.

Ο Edwin Jaynes, σε μια εργασία του το 1973, έγραψε πως η κατανομή των χορδών πάνω στον κύκλο θα πρέπει να μένει η ίδια, ανεξάρτητα από την περιστροφή, το μέγεθος ή τη θέση του κύκλου.
Ως προς την περιστροφή και οι τρεις μέθοδοι είναι συνεπείς μιας και ο κύκλος έχει περιστροφική συμμετρία. Όμως, η κατανομή που προκύπτει από τη Μέθοδο 1 εξαρτάται από το μέγεθος του κύκλου: οι χορδές που κατασκευάστηκαν με αυτή τη μέθοδο πάνω σε έναν δεδομένο κύκλο δεν είναι με τον ίδιο τρόπο κατανεμημένες και σε έναν μικρότερο κύκλο. Επίσης, η κατανομή που προκύπτει από τη Μέθοδο 3 εξαρτάται από τη θέση του κύκλου: οι χορδές που κατασκευάστηκαν με αυτή τη μέθοδο πάνω σε έναν δεδομένο κύκλο είναι κατανεμημένες διαφορετικά σε έναν κύκλο ελαφρά μετατοπισμένο σε σχέση με τον πρώτο. Μόνο η Μέθοδος 2 δίνει κατανομές ομοιογενείς ως προς την περιστροφή, το μέγεθος και τη θέση.
Όλα αυτά ο Jaynes τα παρουσίασε με μαθηματικούς υπολογισμούς. Παρ’ όλα αυτά γράφει πως «ενώ θα ήταν υπερβολικό να πούμε πως η Μέθοδος 2 είναι πιο “σωστή” από τις υπόλοιπες, είναι σίγουρα πιο χρήσιμη στην πράξη».

Πηγές:   http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)
                    http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου