Τρίτη, 7 Σεπτεμβρίου 2010

Χάος και Fractals


Θα μελετήσουμε μια απλή συνάρτηση, από την οποία όμως θα προκύψουν εκπληκτικά αποτελέσματα. Είναι η λεγόμενη Λογιστική Συνάρτηση:
xn+1 = r xn (1 – xn)
Η συνάρτηση αυτή είναι μη γραμμική γιατί μετά τον πολλαπλασιασμό ο παράγοντας xn εμφανίζεται στη δεύτερη δύναμη και λέγεται αναδρομική γιατί η κάθε νέα τιμή της (xn+1) εξαρτάται από την προηγούμενη (xn). Μια τέτοια αναδρομική συνάρτηση έχει το ίδιο πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών. Η γραφική της παράσταση δηλαδή, με σταθερό το r, γίνεται πάνω σε κάποιον άξονα x. 

Η λογιστική συνάρτηση έχει πολλές εφαρμογές στις επιστήμες. Π.χ. αποτελεί ένα μοντέλο της εξέλιξης ενός πληθυσμού στο χρόνο. Το x είναι το ποσοστό που καταλαμβάνει αυτός ο πληθυσμός μέσα στο χώρο που έχει στη διάθεσή του για να πολλαπλασιαστεί. Η τιμή του x πρέπει να είναι μεταξύ 0 και 1. Τιμή 0 σημαίνει πως ο πληθυσμός εξαφανίστηκε και τιμή 1 σημαίνει πως κατέλαβε όλον τον διαθέσιμο χώρο. Το r είναι ένας θετικός αριθμός που αντιπροσωπεύει τον συνδυασμένο ρυθμό αναπαραγωγής και λιμοκτονίας.

Μπορείτε να εισάγετε αυτή τη συνάρτηση στο Excel για να παρακολουθήσετε καλύτερα τα εξωτικά αποτελέσματα που θα ακολουθήσουν. Σας προτείνω έναν απλό τρόπο εισαγωγής της:
-         Γράψτε στο κελί Α1 του Excel μια τιμή για το r, π.χ. την τιμή 1.
-         Γράψτε στο κελί Β1 της διπλανής στήλης, την αρχική τιμή του x. Η τιμή αυτή πρέπει πάντα να είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του 1, αλλά έχει μικρή σημασία ποια ακριβώς θα είναι, γιατί το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι το ίδιο. Π.χ. βάλτε στο κελί Β1 την τιμή 0,5.
-         Εισάγετε στο κελί Β2 από κάτω, το εξής:
      =A$1*B1*(1-B1)
Αυτός ο τύπος εισάγει στο Excel την υπό εξέταση συνάρτηση.
-         Αντιγράψτε το κελί Β2 καμιά εκατοσταριά φορές προς τα κάτω, δηλαδή στα κελιά Β3, Β4, κλπ. Αυτές είναι όλες οι επόμενες τιμές του x.
-         Στην παρακάτω ανάλυση, μπορείτε απλά να αλλάζετε την τιμή του r στο κελί Α1 και να βλέπετε το αποτέλεσμα που έχει αυτή η αλλαγή στην εξέλιξη των τιμών του x.

Συμπεριφορά της συνάρτησης ανάλογα με την τιμή του r
  • Για τιμές του r μεταξύ του 0 και του 1, το x θα καταλήξει στην τιμή 0 ανεξάρτητα από την αρχική του τιμή, δηλαδή ο πληθυσμός θα πεθάνει.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 1 και του 2, το x θα σταθεροποιηθεί στην τιμή (r–1)/r, ανεξάρτητα από την αρχική του τιμή.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 2 και του 3, το x θα σταθεροποιηθεί πάλι στην τιμή (r–1)/r, αλλά θα κυμανθεί πρώτα για λίγο γύρω από αυτήν.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 3 και του 3,45 (ακριβέστερα του 1+√6), το x θα καταλήξει να εναλλάσσεται μεταξύ δύο τιμών, σχεδόν για οποιαδήποτε αρχική τιμή του. Το ποιες θα είναι αυτές οι δύο τιμές εξαρτάται από την τιμή του r.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 3,45 και του 3,54 περίπου, το x θα καταλήξει να εναλλάσσεται μεταξύ τεσσάρων τιμών.
  • Για τιμές του r μεταξύ του 3,54 και του 3,57 περίπου, το x θα καταλήξει να εναλλάσσεται μεταξύ 8, 16, 32, κλπ. τιμών. Το διάστημα τιμών του r που διαρκεί η εναλλαγή μεταξύ ενός δεδομένου αριθμού τιμών του x, μειώνεται πολύ γρήγορα. Ο λόγος μεταξύ δύο τέτοιων διαδοχικών διαστημάτων τείνει στη σταθερά του Feigenbaum *.
  • Για τιμές του r μεγαλύτερες του 3,57 εμφανίζεται το Χάος! Δεν μπορούμε πλέον να βρούμε εναλλαγές μεταξύ ενός πεπερασμένου αριθμού τιμών. Οι τιμές του x ανεβοκατεβαίνουν χωρίς κανένα καθορισμένο πρότυπο και εξαρτώνται σε δραματικό βαθμό από την αρχική τιμή του x, ένα χαρακτηριστικό που είναι σήμα κατατεθέν του Χάους.
  • Παρόλο που για r > 3,57 οι τιμές του x είναι κατά κανόνα χαοτικές, υπάρχουν κάποια απομονωμένα διαστήματα τιμών r, τα οποία δεν εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά και ονομάζονται νήσοι σταθερότητας. Για παράδειγμα ξεκινώντας από την τιμή r = 3.83 (ακριβέστερα 1+√8), υπάρχει ένα διάστημα τιμών του r που το x εναλλάσσεται μεταξύ 3 τιμών και για λίγο μεγαλύτερες τιμές του r, το x εναλλάσσεται μεταξύ 6, 12, κλπ. τιμών.
  • Για τιμές του r μεγαλύτερες του 4, το x βγαίνει έξω απ’ το διάστημα [0,1] για σχεδόν όλες τις αρχικές τιμές του.

Στο παρακάτω διάγραμμα συνοψίζεται η συμπεριφορά της λογιστικής συνάρτησης ανάλογα με τις τιμές του r. Στον οριζόντιο άξονα βρίσκονται οι τιμές του r για τις οποίες η συνάρτηση παρουσιάζει ενδιαφέρον και στον κάθετο άξονα βρίσκονται οι τιμές του x οι οποίες σταθεροποιούνται μετά από αρκετές επαναλήψεις.


Το διάγραμμα είναι ένα fractal: Αν το εξετάσουμε για τις τιμές του r μεταξύ του 3,4 και 3,6 και για τον έναν μόνο από τους δύο κλάδους του εμφανιζόμενου δέντρου, θα δούμε μέσα του μια ελαφρά διαστρεβλωμένη μικρογραφία όλου του αρχικού διαγράμματος. Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο μη χαοτικό εύρος τιμών του r. Αυτό είναι ένα δείγμα της βαθιάς και πανταχού παρούσας σύνδεσης μεταξύ Χάους και Fractals.

* Ο φυσικός Mitchell Feigenbaum που μελέτησε αυτή τη συνάρτηση το 1976 ανακάλυψε πως ο λόγος τιμών του r μεταξύ δύο διαδοχικών διαστημάτων όπου η τιμή του x εναλλάσσεται μεταξύ διπλάσιου αριθμού τιμών σε σχέση με το προηγούμενο διάστημα, τείνει στην τιμή δ = 4,669… Ο Feigenbaum όμως προχώρησε ακόμα περισσότερο στην ανάλυσή του και βρήκε πως υπάρχουν και άλλες οικογένειες συναρτήσεων, όπως η     xn+1 = r sinx    και η    xn+1 = x2 – r,    όπου παρουσιάζουν πολλά κοινά στοιχεία με τη Λογιστική Συνάρτηση. Ειδικά για την τελευταία, ισχύει πως η γραφική της παράσταση είναι όμοια αλλά αντεστραμμένη σε σχέση με αυτή της Λογιστικής Συνάρτησης. Το πιο εκπληκτικό του συμπέρασμα όμως, ήταν πως οι λόγοι τιμών του r μεταξύ δύο διαδοχικών διαστημάτων όλων αυτών των οικογενειών συναρτήσεων έτειναν επίσης στη σταθερά δ. Φαίνεται λοιπόν πως αυτός ο αριθμός αποτελεί μια σπουδαία καθολική σταθερά. Μεγάλο μέρος της σύγχρονης έρευνας προσανατολίζεται στην απόκτηση περισσότερων γνώσεων γι αυτήν. Σήμερα είναι γνωστά τα πρώτα 20 τουλάχιστον ψηφία της. 

Πηγές: http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
                 Donald M. Davis - Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών - Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

1 σχόλιο:

  1. Φανταστικό!
    Έχω ανακαλύψει πρόσφατα τη fractal γεωμετρία και έχω ενθουσιαστεί! Ό,τι άλλο αντίστοιχο ανεβάσεις είναι ευπρόσδεκτο!

    ΑπάντησηΔιαγραφή