Πέμπτη, 6 Σεπτεμβρίου 2012

Το μοίρασμα του θησαυρού


Μία ομάδα 10 εξερευνητών ανακάλυψε ένα θησαυρό. Ο θησαυρός αποτελούταν από διαμάντια, ρουμπίνια, σμαράγδια, χρυσά νομίσματα, ασημένια νομίσματα και χρυσά βραχιόλια. Αποφάσισαν να μοιρασθούν τα αγαθά μεταξύ τους με δημοκρατικό και δίκαιο τρόπο.
Το πρόβλημα που παρουσιάσθηκε ήταν ότι δεν είχε ο κάθε εξερευνητής την ίδια ιδέα για το ποιο αγαθό είναι πιο πολύτιμο. Για παράδειγμα, ο πρώτος θεωρούσε πως τα διαμάντια είναι τα πιο πολύτιμα ενώ τα ασημένια νομίσματα είναι τα λιγότερο πολύτιμα. Ο δεύτερος πίστευε πως τα πιο πολύτιμα ήταν τα χρυσά βραχιόλια ενώ τα λιγότερο πολύτιμα ήταν τα ρουμπίνια, κ.ο.κ.
Επίσης κάποια πετράδια ήταν λιγότερα από 10, ενώ κάποια νομίσματα περισσότερα από 10, οπότε δεν διαιρούνταν ακριβώς ώστε να πάρει ο κάθε εξερευνητής τον ίδιο αριθμό αντικειμένων από το κάθε είδος.
Αν οι εξερευνητές ήταν μόνο δύο, τότε ίσως να γνωρίζετε έναν τρόπο που μπορεί η μοιρασιά να γίνει με τρόπο ώστε κανείς να μην αισθάνεται αδικημένος: Ο πρώτος χωρίζει τα πολύτιμα αντικείμενα σε δύο μέρη που σύμφωνα με αυτόν έχουν την ίδια αξία και ο δεύτερος επιλέγει να κρατήσει όποιο από τα δύο μέρη θέλει.
Αν όμως οι εξερευνητές είναι τρεις ή περισσότεροι, πρέπει να βρεθεί μία άλλη πιο σύνθετη μέθοδος ώστε στο τέλος της μοιρασιάς να μην υπάρχει κανένας που να αισθάνεται αδικημένος.
Είναι γνωστές δύο τέτοιες διαδικασίες μοιράσματος. Μπορείτε να ανακαλύψετε μία;

Παρακάτω παρουσιάζονται οι δύο γνωστοί τρόποι μοιράσματος:

1ος τρόπος
Ο πρώτος εξερευνητής (ας τον ονομάσουμε Α) ξεχωρίζει το μερίδιό του, το οποίο πιστεύει ότι αποτελεί το 1/10 της αξίας του θησαυρού. Αν όλοι οι υπόλοιποι συμφωνήσουν ότι δεν πήρε παραπάνω από το 1/10, τότε ο Α παίρνει το μερίδιο που επέλεξε και αποχωρεί από τη μοιρασιά.
Αν κάποιοι εξερευνητές πιστεύουν πως το μερίδιο που διάλεξε ο Α είναι μεγαλύτερο από το 1/10 της συνολικής αξίας του θησαυρού, τότε το μερίδιο πηγαίνει στον πρώτο κατά σειρά των διαφωνούντων (ας τον ονομάσουμε Β), με την προϋπόθεση να επιστρέψει ο Β στο σωρό την πλεονάζουσα κατά τη γνώμη του αξία, ώστε αυτό που θα απομείνει για τον ίδιο να αντιστοιχεί πράγματι στο 1/10 της συνολικής αξίας.
Στη συνέχεια ζητείται πάλι από τους εξερευνητές να εκφράσουν τις τυχόν αντιρρήσεις τους για το μερίδιο που επέλεξε ο Β. Φυσικά ο Α δεν θα έχει αντίρρηση γιατί το μερίδιο του Β είναι μικρότερο από αυτό που επέλεξε ο ίδιος αρχικά για τον εαυτό του. Ο Β δεν θα έχει αντίρρηση γιατί το μερίδιό του το επέλεξε ο ίδιος.
Αν δεν υπάρξει καμία διαφωνία, τότε ο Β παίρνει το μερίδιο που επέλεξε και αποχωρεί από τη μοιρασιά. Αν κάποιος εξερευνητής (έστω ο Γ) εκφράσει εκ νέου τη διαφωνία του, τότε πηγαίνει σε αυτόν το μερίδιο του Β με την οδηγία να το μειώσει ακόμα περισσότερο κατά την κρίση του. Τώρα οι Α, Β και Γ δεν θα έχουν αντίρρηση για το νέο μερίδιο και γενικά μετά από κάθε διαφωνία θα μειώνονται συνεχώς οι εξερευνητές που εκφράζουν την αντίρρησή τους, μέχρι να συμφωνήσουν όλοι στο ποιο μερίδιο αποτελεί το πολύ το 1/10 της αξίας του θησαυρού.
Όταν δεν θα υπάρχει πια καμία διαφωνία για το πρώτο μερίδιο και ο εκάστοτε εξερευνητής πάρει αυτό που επέλεξε, το πρόβλημα ανάγεται στο μοίρασμα του υπόλοιπου θησαυρού σε 9 εξερευνητές, από τους οποίους ο πρώτος θα επιλέξει αυτό που θεωρεί πως είναι το 1/9 της αξίας του θησαυρού και η διαδικασία επαναλαμβάνεται από την αρχή.

2ος τρόπος
Δύο από τους εξερευνητές μοιράζονται μεταξύ τους το θησαυρό. Αυτό επιτυγχάνεται με τη μέθοδο που αναφέρθηκε στην αρχή, δηλαδή ο ένας μοιράζει το θησαυρό σε δύο ίσα κατά τη γνώμη του μέρη και ο άλλος επιλέγει όποιο θέλει. Στο σημείο αυτό έχουμε δύο εξερευνητές που ο καθένας έχει στην κατοχή του θεωρητικά το 1/2 του θησαυρού.
Στη συνέχεια ο καθένας από τους δύο μοιράζει το δικό του μερίδιο σε τρία ίσα κατά τη γνώμη του μέρη και ένας τρίτος εξερευνητής επιλέγει για τον εαυτό του το ένα από τα τρία μερίδια του πρώτου και το ένα από τα τρία μερίδια του δεύτερου. Στο σημείο αυτό έχουμε τρεις εξερευνητές που ο καθένας έχει στην κατοχή του θεωρητικά το 1/3 του θησαυρού.
Στη συνέχεια ο καθένας από τους τρεις μοιράζει το δικό του μερίδιο σε τέσσερα ίσα κατά τη γνώμη του μέρη και ένας τέταρτος εξερευνητής επιλέγει για τον εαυτό του το ένα από τα τέσσερα μερίδια του πρώτου, το ένα από τα τέσσερα μερίδια του δεύτερου και το ένα από τα τέσσερα μερίδια του τρίτου. Στο σημείο αυτό έχουμε τέσσερις εξερευνητές που ο καθένας έχει στην κατοχή του θεωρητικά το 1/4 του θησαυρού.
Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να επιλέξει και ο δέκατος εξερευνητής ένα από τα δέκα μέρη από καθέναν εκ των υπολοίπων εννέα εξερευνητών και να έχουν τελικά όλοι στην κατοχή τους θεωρητικά το 1/10 του θησαυρού.

Ποιον από τους δύο τρόπους θεωρείτε πιο δίκαιο;

3 σχόλια:

  1. Οι δύο αυτοί τρόποι, είναι εξαιρετικοί για το μοίρασμα ενός θησαυρού και γενικά μιας διακριτής ποσότητας, όμως δύσκολα εφαρμόζονται στη περίπτωση μοιράσματος μιας συνεχούς ποσότητας π.χ. μιας τούρτας ή μιας πίτσας σε 10 δίκαια κομμάτια. Στη περίπτωση αυτή, προτείνω τον ακόλουθο τρόπο μοιράσματος:
    Ας υποθέσουμε ότι η τούρτα είναι κυκλική. Ενας από τους 10 (έστω ο Α), παίρνει ένα μαχαίρι και κόβει τη τούρτα κατά μήκος μιας ακτίνας. Ακολούθως, από το σημείο τομής της περιφέρειας της τούρτας, αρχίζει να κινεί την άκρη του μαχαιριού κατά μήκος της περιφέρειας, μέχρις ότου κάποιος από τους συμμετέχοντες (ή και ο ίδιος) φωνάξει STOP. Στο σημείο αυτό σταματάει και κόβει το κομμάτι που ορίζεται απο την αρχική ακτίνα και το σημείο στο οποίο εχει σταματήσει το μαχαίρι. Το κομμάτι αυτό δίνεται σε αυτόν που το ζήτησε, και ο οποίος αποχωρεί. Η διαδικασία συνεχίζεται με τους υπόλοιπους 9, και με το τμήμα της τούρτας που έχει απομείνει.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Πιστευω οτι ο σωστος τροπος ειναι ο πρωτος. Κατακριβεια πιστευω οτι ο δευτερος ειναι λιγο αδικος. Οταν επιλεγει το κομματι του θησαυρου ο τριτος μπορει να διαφωνει με τον καταμερισμο του πρωτου και του δευτερου!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. @Emilianos Panayiotou: Αν οι δύο πρώτοι δεν κάνουν δίκαιη κατανομή και μοιράσουν το θυσαυρό π.χ. 90% - 10% τότε ο τρίτος θα πάρει τουλάχιστον το 1/3 του 10% και τουλάχιστον το 1/3 του 90%, άρα τουλάχιστον το 1/3 του συνολικού θυσαυρού. Δεν βλέπω την αδικία.

      Διαγραφή